3³+4³+5³=6³，只是个巧合吗?

乔乔 ⋅ 2022-01-02 ⋅ 5 阅读 ⋅ 资讯

没想到什么头绪，查了一下谷歌，看到 Quora 以下贴子：

Number Theory: What idea is hidden in the problem 3³+4³+5³=6³ ?

该贴子的两个回答，大致相同：

【Quora回答1】

$1^3+2^3+3^3+4^3+5^3=(1+2+3+4+5)^2=15^2$

$1^3+2^3=(1+2)^2=3^2$

因此

$3^3+4^3+5^3=15^2−3^2=\cdots=6^3$

【Quora回答2】

$k^3+(k+1)^3+\cdots+(m−1)^3+m^3=\sum _{n=1}^{m} n^3-\sum _{n=1}^{k-1} n^3=(\frac{m(m+1)}{2})^2−(\frac{(k-1)k}{2})^2$

当 $k=3, m=5$ 时，即 $3^3+4^3+5^3=6^3$

Quota 的这两个回答，可以理解为：是否存在两个三角数，其平方差为立方数？

本问题问的是式子的几何意义或别的解释，勉强凑合一下，看看有无类似结果。搜了一下，等式左边的各数在1000以内时，有15组解：

$3^3+4^3+5^3=6^3$

$11^3+12^3+13^3+14^3=20^3$

$3^3+4^3+5^3+\cdots+22^3=40^3$

$6^3+7^3+8^3+\cdots+30^3=60^3$

$15^3+16^3+17^3+\cdots+34^3=70^3$

$6^3+7^3+8^3+\cdots+69^3=180^3$

$11^3+12^3+13^3+\cdots+109^3=330^3$

$34^3+35^3+36^3+\cdots+158^3=540^3$

$291^3+292^3+293^3+\cdots+339^3=1155^3$

$213^3+214^3+215^3+\cdots+365^3=1581^3$

$556^3+557^3+558^3+\cdots+654^3=2805^3$

$213^3+214^3+215^3+\cdots+555^3=2856^3$

$273^3+274^3+275^3+\cdots+560^3=2856^3$

$646^3+647^3+648^3+\cdots+798^3=3876^3$

$406^3+407^3+408^3+\cdots+917^3=5544^3$

其中，有两组都是等于 $2856^3$ ，即：

$213^3+214^3+215^3+\cdots+555^3=273^3+274^3+275^3+\cdots+560^3=2856^3$

此外，搜了一下，等式左边的各数在1000以内时，4次、5次、6次方之和没有类似结果。

拼凑一个有点类似的4次方例子： $2^4+2^4+3^4+4^4+4^4=5^4$

- THE END -

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